Satellites

lundi 26 octobre 2015, par Didier Hérisson.

De la chute de la pomme aux astéroïdes.

Satellites

De la chute de la pomme aux astéroïdes.

Matériel

Connexion Internet ou programme de simulation téléchargé au préalable à : https://physique-chimie.discip.ac-caen.fr/spip.php?article234

Objectifs :

  • La gravitation explique la chute de la pomme comme le mouvement des planètes
  • Importance des conditions initiales
  • Propriétés de la trajectoire circulaire.

1 L ’outil.

Le travail se fera à partir de simulations numériques du mouvement d’un satellite. Le programme de simulation est disponible à l’URL : https://physique-chimie.discip.ac-caen.fr/spip.php?article234

Ce programme permet des simulations pour deux types de systèmes : le système solaire d’une part, et. de satellites en rotation autour de la terre d’autre part. On passe de l’un à l’autre par le bouton Satellite ou Planète . L’axe z est l’axe des pôles, la terre est vue depuis la verticale du pôle Nord. Les axes du repère dans lequel les différentes grandeurs sont définies peuvent être affichées en appuyant sur le bouton Axes

Sur la ligne du haut se trouvent les paramètres qui gouvernent la trajectoire, en définissant les conditions de lancement (conditions initiales). On gardera toujours pour la masse de la planète la valeur initiale, qui correspond à la masse de la terre. Le paramètre h0 permet de donner l’altitude de départ, le vecteur vitesse initial est donné par ses 3 composantes V0x ,V0y ,V0z .

La simulation se lance en appuyant sur Start et s’arrête en appuyant sur Paramétrage , ce qui permet de changer les paramètres avant une nouvelle simulation. En haut à gauche, différents paramètres décrivent numériquement la trajectoire. On peut montrer que la trajectoire, lorsqu’elle est périodique, est une ellipse. Une ellipse se décrit par quelques paramètres. Plus elle est allongée, plus son excentricité est grande. Pour un cercle, ce paramètre vaut zéro. Le « Grand axe » est le diamètre de l’ellipse, la distance entre les deux points les plus distants de la trajectoire. « r mini » et « r maxi » sont les distances minimale et maximale respectivement du satellite au centre de la terre. « V maxi » et « V mini » donnent les valeurs extrémales de la vitesse pendant la simulation.

2 Questions préliminaires...

2.1 Unités

1. Donner le facteur de conversion entre les km.s-1 et les km/h

2. Appliquer cela à 6,6km.s-1

2.2 Référentiel

1. Définir les référentiels « terrestre » et « géocentrique ».

2. La simulation se fait-elle dans le référentiel terrestre ou géocentrique ? Justifier.

2.3 Périodicité

1. Définir ce qu’est un mouvement périodique.

2. L’application donne deux périodes différentes pour le mouvement : la « période du mouvement », et la « période apparente ». Expliquer ces deux termes.

3 Expériences numériques.

3.1 De la pomme à l’astéroïde...

Choisir une altitude h0 de départ ( h0=5000 km ). Le point de départ est toujours le point de coordonnées (RT+h0, 0, 0). L’unique force s’exerçant sur le satellite est son poids, due à l’attraction gravitationnelle de la terre. On choisira toujours V0x=0 et V0z=0 ( Trajectoire dans le plan de l’écran et on a V0=V0y)

1. Rappeler les caractéristiques principales du poids : sa direction, et l’expression de sa norme. Augmenter progressivement la vitesse V0=V0y de 0 à 7 km/s et observer les différents régimes de trajectoire.

2. Indiquer les caractéristiques des trajectoires typiques obtenues. Lorsque la trajectoire est une ellipse, on distinguera deux cas, notamment grâce à l’évolution avec la vitesse initiale des paramètres indiqués sur la gauche.

3. Obtenir avec 2 chiffres significatifs les vitesses critiques qui marquent les transitions entre les régimes.

4. Justifier le titre « De la pomme à l’astéroïde... »

3.2 Satellite géostationnaire.

Un satellite géostationnaire est constamment à la verticale du même point de la surface, et à la même altitude.

1. Dans le référentiel terrestre, quel est le type de trajectoire d’un satellite géostationnaire ? Et dans le référentiel géocentrique ?

2. Quel est la période du mouvement ? La période apparente ?

Étant données toutes ces contraintes, on peut montrer qu’il n’existe qu’une seule orbite géostationnaire. L’altitude est obligatoirement de 35 784 km.

3. Encadrer la vitesse à laquelle doit être lancé un satellite pour être géostationnaire, avec une marge d’erreur de 5%.

4. 5% d’erreur vous semble-t-il acceptable pour un satellite de télécommunication ? (Pour répondre, on pourra regarder les périodes apparentes obtenues en réalisant l’encadrement.)

3.3 Trajectoires circulaires

Les trajectoires circulaires, sont les plus courantes, car l’altitude reste constante. A chaque altitude, il n’y a qu’une seule vitesse initiale qui permette d’obtenir une trajectoire circulaire. Recherchons la loi qui donne cette vitesse en fonction de l’altitude.

1. Pour plusieurs altitudes, chercher la vitesse v permettant d’obtenir une trajectoire circulaire avec deux chiffres significatifs. 

h0 (km)2009000180002700035784
r = RT+h (km)          
v ( m/s)          
1/v² (s²/m²)          

(200 km (orbite basse), 35784 km (orbite géostationnaire) 

2. Calculer r = RT + h0, le rayon de l’orbite, et 1/v², l’inverse du carré de la vitesse.

3. Tracer l’inverse du carré de la vitesse en fonction de r.

4. Que peut-on déduire (ou pour le moins suspecter) comme relation entre r et 1/v² ?

Documents joints